Алгебра. Учебник

Предисловие
Глава 1. Введение
§ 1. Предмет алгебры
§ 2. Первоначальные понятия и обозначения из
теории множеств и математической логики
§ 3. О математических утверждениях и методах их
доказательства
Задачи
Глава 2. Элементы комбинаторики
§ 1. Отношения на множествах. Отношения
эквивалентности и частичного порядка
§ 2. Сочетания, размещения и перестановки
элементов конечного множества
§ 3. Перестановки и их классификация
Задачи
Глава 3. Основные алгебраические структуры
§ 1. Бинарные операции и их свойства
§ 2. Алгебраические структуры с одной бинарной
операцией
§ 3. Кольца и поля
§ 4. Изоморфизм множеств с операциями
Задачи
Глава 4. Числовые кольца и поля
§ 1. Отношение делимости в кольце Z. Деление
целых чисел с остатком
§ 2. Наибольший общий делитель и наименьшее
общее кратное целых чисел
§ 3. Простые числа. Основная теорема арифметики
§ 4. Числовые поля. Поле комплексных чисел
Задачи
Глава 5. Кольца и поля вычетов
§ 1. Сравнения целых чисел по модулю
§ 2. Классы вычетов и операции над ними
§ 3. Решение сравнений
Задачи
Глава 6. Кольца матриц
§ 1. Матрицы над кольцом и операции над ними
§ 2. Определители матриц над коммутативным
кольцом с единицей
§ 3. Подматрицы матриц. Миноры и их
алгебраические дополнения
§ 4. Обратимые матрицы. Критерий обратимости
§ 5. Элементарные преобразования матриц.
Эквивалентные матрицы
§ 6. Канонические матрицы над кольцом Z Задачи
Глава 7. Матрицы над полем
§ 1. Ранг матрицы
§ 2. Каноническая форма матрицы
§ 3. Линейная зависимость векторов. Базис и ранг
системы векторов
§ 4. Подпространства арифметических пространств
Задачи
Глава 8. Системы линейных уравнений
§ 1. Системы линейных уравнений над
коммутативным кольцом с единицей. Теорема
Крамера
§ 2. Системы линейных уравнений над полем
§ 3. Системы линейных однородных уравнений
Задачи
Глава 9. Многочлены
§ 1. Кольцо многочленов над кольцом с единицей
§ 2. Делимость многочленов. Теорема о делении с
остатком
§ 3. Значение и корень многочлена. Теорема Безу.
Многочлен как функция
§ 4. Кольцо многочленов над полем. Наибольший
общий делитель и наименьшее общее кратное
§ 5. Неприводимые многочлены над полем.
Каноническое разложение многочлена
§ 6. Корни многочленов над полем
§ 7. Многочлены над числовыми полями
§ 8. Кольцо многочленов от нескольких
переменных
§ 9. Инвариантные подкольца. Симметрические
многочлены
Задачи
Глава 10. Группоиды и полугруппы
§ 1. Подгруппоиды и подполугруппы
§ 2. Гомоморфизмы группоидов
§ 3. Конгруэнции на группоидах и
факторгруппоиды
§ 4. Полугруппы преобразований
§ 5. Полугруппы бинарных отношений
Задачи
Глава 11. Основы теории групп
§ 1. Определяющие свойства групп
§ 2. Порядки элементов и экспонента группы
§ 3. Подгруппы. Подгруппа, порожденная
подмножеством
§ 4. Смежные классы. Теорема Лагранжа.
Подгруппы циклической группы
§ 5. Произведения групп и подгрупп
§ 6. Классы сопряженных элементов.
Нормализаторы. Центр р-группы
§ 7. Группы подстановок. Орбиты и
стабилизаторы. Лемма Бернсайда
§ 8. Цикловая структура и четность подстановки.
Знакопеременная группа
§ 9. Системы образующих симметрической и
знакопеременной групп
§ 10. Сопряженные элементы в симметрической
группе. Уравнение Коши
§ 11. Гомоморфизмы групп и нормальные делители
§ 12. Теоремы об изоморфизме
§ 13. Простые группы
§ 14.Силовские подгруппы
Задачи
Глава 12. Конечные абелевы группы
§ 1. Каноническое разложение конечной абелевой
группы
§ 2. Тип конечной абелевой группы
§ 3. Перечисление конечных абелевых групп
§ 4. Характеры конечных абелевых групп
Задачи
Глава 13. Векторные пространства
§ 1. Определение векторного пространства. Базис
пространства
§ 2. Подпространства векторного пространства
§ 3. Изоморфизмы векторных пространств
§ 4. Конечномерные пространства
§ 5. Подпространства конечномерного
пространства
§ 6. Фактор пространства и многообразия
Задачи
Глава 14. Системы линейных неравенств
§ 1. Некоторые свойства систем линейных
уравнений
§ 2. Системы линейных неравенств и сведение их к
системам линейных уравнений
§ 3. Критерий совместности системы линейных
неравенств
§ 4. Системы однородных линейных неравенств
Задачи
Глава 15. Линейные, преобразования векторных
пространств
§ 1. Линейные отображения
§ 2. Линейные преобразования и их свойства
§ 3. Собственные векторы, собственные значения
и характеристический многочлен линейного
преобразования
§ 4. Многочлены, аннулирующие преобразование.
Минимальный многочлен
§ 5. Минимальный многочлен вектора относительно
линейного преобразования
§ 6. Инвариантные подпространства. Циклические
подпространства
§ 7. Разложение пространства в прямую сумму
инвариантных подпространств Задачи
Глава 16. Подобие матриц над полем
§ 1. Критерий подобия матриц над полем
§ 2. Каноническая форма полиномиальной матрицы
§ 3. Нормальные формы матриц над полем
§ 4. Жордановы матрицы
§ 5. Стохастические матрицы
Задачи
Глава 17. Евклидовы пространства
§ 1. Евклидово вещественное пространство
§ 2. Ортогональные системы векторов,
ортогонализация
§ 3. Ортогональные подпространства.
Ортогональное дополнение. Расстояние между
многообразиями
§ 4. Матрица Грама системы векторов. Описание
всех скалярных произведений
§ 5. Изометричность евклидовых пространств
§ 6. Евклидово комплексное (унитарное)
пространство
Задачи
Глава 18. Линейные преобразования
конечномерных евклидовых пространств
§ 1. Преобразование, сопряженное к данному.
Самосопряженные и изометрические
преобразования
§ 2. Нормальные преобразования
§ 3. Свойства самосопряженных преобразований
§ 4. Свойства изометрических преобразований
Задачи
Глава 19. Квадратичные формы
§ 1. Общие свойства квадратичных форм.
Канонический вид
§ 2. Квадратичные формы над полями
действительных и комплексных чисел Задачи
Глава 20. Элементы теории колец
§ 1. Подкольца и операции над ними
§ 2. Характеристика кольца
§ 3. Идеалы и операции над ними
§ 4. Простые кольца
§ 5. Конгруэнции и идеалы колец. Факторкольца
§ 6. Гомоморфизмы колец
§ 7. Разложение кольца в прямую сумму
§ 8. Замена подкольца изоморфным ему кольцом
Задачи
Глава 21. Основы теории полей
§ 1. Подполя и расширения нолей
§ 2. Поля частных
§ 3. Простые поля
§ 4. Классификация расширений поля
§ 5. Простые расширения полей
§ 6. Поля разложения многочлена
Задачи
Глава 22. Конечные поля и многочлены над ними
§ 1. Основные свойства конечных полей
§ 2. Неприводимые многочлены над конечными
полями
§ 3. Критерий неприводимости многочлена над
конечным полем
§ 4. Число неприводимых многочленов данной
степени
§ 5. Некоторые методы построения неприводимых
многочленов над конечным полем
§ 6. Характеры конечных полей и суммы Гаусса
Задачи
Глава 23. Задание групп образующими элементами
и определяющими соотношениями
§ 1. Общая конструкция группы, заданной
образующими элементами и определяющими
соотношениями
§ 2. Задание произвольной группы системами
образующих элементов и определяющих
соотношений
§ 3. Переход от одного задания группы к другому
заданию. Теорема Тице
§ 4. Описание конечно определенных абелевых
групп
§ 5. О ширине и длине конечной группы
относительно заданной системы образующих
Задачи
Глава 24. Группы подстановок (дополнение)
§ 1. Подстановочные представления конечных
групп
§ 2. Регулярные группы подстановок
§ 3. Кратно транзитивные группы подстановок
§ 4. Примитивные и импримитивные группы
подстановок
Задачи
Глава 25. Линейные рекуррентные
последовательности
§ 1. Семейство ЛРП с данным характеристическим
многочленом и его базисы
§ 2. Умножение последовательности на многочлен.
Генератор ЛРП
§ 3. Минимальный многочлен и аннулятор ЛРП
§ 4. Соотношения между семействами ЛРП с
различными характеристическими многочленами
§ 5. Биномиальный базис, пространства ЛРП над
полем
§ 6. Представление ЛРП над конечным полем с
помощью функции след
§ 7. Периодические последовательности
§ 8. Периодические многочлены. Периодичность
ЛРП над конечным кольцом
§ 9. Вычисление периода и длины подхода ЛРП над
конечным полем
§ 10. ЛРП максимального периода над конечным
полем
§ 11. Цикловой тип семейства ЛРП с реверсивным
характеристическим многочленом над конечным
кольцом
§ 12. ЛРП над кольцами вычетов
§ 13. Распределение элементов на циклах
линейных рекуррент
Задачи
Глава 26. Граф линейного преобразования
конечного векторного пространства
§ 1. Период и длина подхода линейной
последовательности
§ 2. Графы преобразований и их числовые
характеристики
§ 3. Декартово произведение графов
преобразований
§ 4. Параметры графа линейного преобразования
Задачи
Литература
Именной указатель
Предметный указатель