Основы математического анализа. Учебник. Том 2

ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1. Введение
234. Основные понятия
235. Простейшие теоремы
§ 2. Сходимость положительных рядов
236. Условие сходимости положительного ряда
237. Теоремы сравнения рядов
238. Примеры
239. Признаки Коши и Даламбера
240. Признак Раабе
241. Интегральный признак Маклорена - Коши
§ 3. Сходимость произвольных рядов
242. Принцип сходимости
243. Абсолютная сходимость
244. Знакопеременные ряды
§ 4. Свойства сходящихся рядов
245. Сочетательное свойство
246. Переместительное свойство абсолютно
сходящихся рядов
247. Случай неабсолютно сходящихся рядов
248. Умножение рядов
§ 5. Бесконечные произведения
249. Основные понятия
250. Простейшие теоремы. Связь с рядами
251. Примеры
§ 6. Разложения элементарных функций в
степенные ряды
252. Ряд Тейлора
253. Разложение в ряд показательной и основных
тригонометрических функций
254. Формулы Эйлера
255. Разложение арктангенса
256. Логарифмический ряд
257. Формула Стирлинга
258. Биномиальный ряд
259. Замечание об исследовании дополнительного
члена
§ 7. Приближенные вычисления с помощью рядов
260. Постановка вопроса
261. Вычисление числа п
262. Вычисление логарифмов
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И
РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость
263. Вводные замечания
264. Равномерная и неравномерная сходимость
265. Условие равномерной сходимости
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
266. Непрерывность суммы ряда
267. Случай положительных рядов
268. Почленный переход к пределу
269. Почленное интегрирование рядов
270. Почленное дифференцирование рядов
271. Пример непрерывной функции без
производной
§ 3. Степенные ряды и ряды многочленов
272. Промежуток сходимости степенного ряда
273. Непрерывность суммы степенного ряда
274. Непрерывность на конце промежутка
сходимости
275. Почленное интегрирование степенного ряда
276. Почленное дифференцирование степенного
ряда
277. Степенной ряд как ряд Тейлора
278. Разложение непрерывной функции в ряд
многочленов
§ 4. Очерк истории рядов
279. Эпоха Ньютона и Лейбница
280. Период формального развития теории рядов
281. Создание точной теории
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными
пределами
282. Определение интегралов с бесконечными
пределами
283. Применение основной формулы интегрального
исчисления
284. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы
285. Сходимость интеграла в случае
положительной функции
286. Сходимость интеграла в общем случае
287. Более тонкие признаки
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных
функций
288. Определение интегралов от неограниченных
функций
289. Применение основной формулы интегрального
исчисления
290. Условия и признаки сходимости интеграла
§ 3. Преобразование и вычисление несобственных
интегралов
291. Интегрирование но частям в случае
несобственных интегралов
292. Замена переменных в несобственных
интегралах
293. Вычисление интегралов с помощью
искусственных приемов
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория
294. Постановка задачи
295. Равномерное стремление к предельной
функции
296. Предельный переход под знаком интеграла
297. Дифференцирование под знаком интеграла
298. Интегрирование под знаком интеграла
299. Случай, когда и пределы интеграла зависят
от параметра
300. Примеры
§ 2. Равномерная сходимость интегралов
301. Определение равномерной сходимости
интегралов
302. Условие и достаточные признаки
равномерной сходимости
303. Случай интегралов с конечными пределами
§ 3. Использование равномерной сходимости
интегралов
304. Предельный переход под знаком интеграла
305. Интегрирование интеграла по параметру
306. Дифференцирование интеграла по параметру
307. Замечание об интегралах с конечными
пределами
308. Вычисление некоторых несобственных
интегралов
§ 4. Эйлеровы интегралы
309. Эйлеров интеграл первого рода
310. Эйлеров интеграл второго рода
311. Простейшие свойства функции Г
312. Примеры
313. Исторические замечания о перестановке двух
предельных операций
ГЛАВА ДЕВЯТНАДЦАТАЯ
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Неявные функции
314. Понятие неявной функции от одной
переменной
315. Существование и свойства неявной функции
316. Неявная функция от нескольких переменных
317. Определение неявных функций из системы
уравнений
318. Вычисление производных неявных функций
§ 2. Некоторые приложения теории неявных
функций
319. Относительные экстремумы
320. Метод неопределенных множителей
Лагранжа
321. Примеры и задачи
322. Понятие независимости функций
323. Ранг функциональной матрицы
§ 3. Функциональные определители н их
формальные свойства
324. Функциональные определители
325. Умножение функциональных определителей
326. Умножение неквадратных функциональных
матриц
ГЛАВА ДВАДЦАТАЯ
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Криволинейные интегралы первого типа
327. Определение криволинейного интеграла
первого типа
328. Сведение к обыкновенному определенному
интегралу
329. Примеры
§ 2. Криволинейные интегралы второго типа
330. Определение криволинейных интегралов
второго типа
331. Существование и вычисление криволинейного
интеграла второго типа
332. Случай замкнутого контура. Ориентация
плоскости
333. Примеры
334. Связь между криволинейными интегралами
обоих типов
335. Приложения к физическим задачам
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ПЕРВАЯ
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Определение и простейшие свойства двойных
интегралов
336. Задача об объеме цилиндрического бруса
337. Сведение двойного интеграла к повторному
338. Определение двойного интеграла
339. Условие существования двойного интеграла
340. Классы интегрируемых функций
341. Свойства интегрируемых функций и двойных
интегралов
342. Интеграл как аддитивная функция области;
дифференцирование по области
§ 2. Вычисление двойного интеграла
343. Приведение двойного интеграла к
повторному в случае прямоугольной области
344. Приведение двойного интеграла к
повторному в случае криволинейной области
845. Механические приложения
§ 3. Формула Гряна
846. Вывод формулы Грина
847. Выражение площади с помощью
криволинейных интегралов
§ 4 Условия независимости криволинейного
интеграла от пути интегрирования
348. Интеграл по простому замкнутому контуру
349. Интеграл по кривой, соединяющей две
произвольные точки
350. Связь с вопросом о точном дифференциале
351. Приложения к физическим задачам
§ 5. Замена переменных в двойных интегралах
352. Преобразование плоских областей
353. Выражение площади в криволинейных
координатах
354. Дополнительные замечания
355. Геометрический вывод
356. Замена переменных в двойных интегралах
357. Аналогия с простым интегралом. Интеграл по
ориентированной области
358. Примеры
859. Исторические замечания
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ВТОРАЯ
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Двусторонние поверхности
360. Параметрическое представление поверхности
361. Сторона поверхности
362. Ориентация поверхности и выбор ее стороны
363. Случай кусочно-гладкой поверхности
§ 2. Площадь кривой поверхности
364. Пример Шварца
365. Площадь поверхности, заданной явным
уравнением
366. Площадь поверхности в общем случае
367. Примеры
§ 3. Поверхностные интегралы первого типа
368. Определение поверхностного интеграла
первого типа
369. Сведение к обыкновенному двойному
интегралу
370. Механические приложения поверхностных
интегралов первого типа
§ 4. Поверхностные интегралы второго типа
371. Определение поверхностных интегралов
второго типа
372. Сведение к обыкновенному двойному
интегралу
373. Формула Стокса
374. Приложение формулы Стокса к исследованию
криволинейных интегралов в пространстве
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ТРЕТЬЯ
ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Тройной интеграл и его вычисление
375. Задача о вычислении массы тела
376. Тройной интеграл и условие его
существования
377. Свойства интегрируемых функций и тройных
интегралов
378. Вычисление тройного интеграла
379. Механические приложения
§ 2. Формула Остроградского
380. Формула Остроградского
381. Некоторые примеры приложения формулы
Остроградского
§ 3. Замена переменных в тройных интегралах
382. Преобразование пространственных областей
383. Выражение объема в криволинейных
координатах
384. Геометрический вывод
385. Замена переменных в тройных интегралах
386. Примеры
387. Исторические замечания
§ 4. Элементы теории поля
388. Скаляры и векторы
389. Скалярное и векторное поля
390. Производная по заданному направлению.
Градиент
391. Поток вектора через поверхность
392. Формула Остроградского. Дивергенция
393. Циркуляция вектора. Формула Стокса. Вихрь
§ 5. Многократные интегралы
394. Объем m-мерного тела и m-кратный интеграл
395. Примеры
ГЛАВА ДВАДЦАТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 1. Введение
396. Периодические величины и гармонический
анализ
397. Определение коэффициентов по методу
Эйлера-Фурье
398. Ортогональные системы функций
§ 2. Разложение функций в ряд Фурье
399. Постановка вопроса. Интеграл Дирихле
400. Основная лемма
401. Принцип локализации
402. Представление функции рядом Фурье
403. Случай непериодической функции
404. Случай произвольного промежутка
405. Разложение только по косинусам или только
по синусам
406. Примеры
407. Разложение непрерывной функции в ряд
тригонометрических многочленов
§ 3. Интеграл Фурье
408. Интеграл Фурье как предельный случай ряда
Фурье
409. Предварительные замечания
410. Представление функции интегралом Фурье
411. Различные виды формулы Фурье
412. Преобразование Фурье
§ 4. Замкнутость и полнота тригонометрической
системы функций
413. Приближение функций в среднем.
Экстремальные свойства отрезков ряда Фурье
414. Замкнутость тригонометрической системы
415. Полнота тригонометрической системы
416. Обобщенное уравнение замкнутости
417. Почленное интегрирование ряда Фурье
418. Геометрическая интерпретация
§ 5. Очерк истории тригонометрических рядов
419. Задача о колебании струны
420. Решение Даламбера и Эйлера
421. Решение Тейлора и Д. Бернулли
422. Спор по поводу задачи о колебании струны
423. Разложение функций в тригонометрические
ряды, определение коэффициентов
424. Доказательства сходимости рядов Фурье и
другие вопросы
425. Заключительные замечания
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ОЧЕРК ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
I. Теория дифференциальных уравнений
II. Вариационное исчисление
III. Теория функций комплексной переменной
IV. Теория интегральных уравнений
V. Теория функций вещественной переменной
VI. Функциональный анализ
Алфавитный указатель