Лекции по дифференциальной геометрии. Учебное пособие

Благодарности
Введение
§ 1. Предварительные сведения и договоренности
1. Векторные пространства
2. Ориентация
3. Билинейные и квадратичные формы
4. Евклидовы пространства
5. Векторные функции скалярного аргумента
6. Обобщенное векторное произведение
7. Аффинные евклидовы пространства
Глава I. Кривые
§ 2. Общие сведения о кривых в аффинных
евклидовых пространствах
8. Определение гладкой кривой. Регулярность.
Длина кривой
9. Замена параметра. Эквивалентность кривых
10. Кривые единичной скорости
§ 3. Плоские кривые. Экскурсия к истокам
дифференциальной геометрии
11. Линии на плоскости
12. Касание плоских кривых. Огибающая
13. Репер Френе плоской кривой единичной
скорости
14. Натуральные уравнения кривой
15. Репер Френе и кривизна произвольной
регулярной плоской кривой
16. Понятие о сферическом отображении -
замечательной идее Гаусса
17. Локальное строение плоских кривых
18. Эволюта и эвольвента
§ 4. Общая локальная теория кривых
19. Кривые общего вида
20. Репер Френе кривой общего вида
21. Теорема Френе-Жордана. Уравнения Френе
кривой общего вида
22. Кривые общего вида в трехмерном
пространстве
23. Свойства кривизн кривых общего вида
24. Основная теорема локальной теории кривых
25. Теорема о последней кривизне
26. Кривые с постоянными кривизнами
Глава II. Поверхности
§ 5. Понятие поверхности
27. Дифференциал гладкого отображения
28. Определение поверхности. Касательное
пространство. Касательное расслоение
29. Примеры поверхностей
§ 6. Внутренняя геометрия поверхности
30. Первая фундаментальная форма
31. Длина кривой вдоль поверхности
32. Углы на поверхности
33. Объем поверхности
34. Замена параметров на поверхности.
Изометричность поверхностей
§ 7. Внешняя геометрия гиперповерхностей
35. Нормальное гауссово поле. Дифференциал
нормального отображения
36. Основной оператор гиперповерхности и вторая
фундаментальная форма
37. Матрица основного оператора
гиперповерхности. Кривизны и главные
направления. Линии кривизны
38. Локальное строение гиперповерхности
39. Нормальная кривизна. Теорема Менье. Теорема
Эйлера. Асимптотические линии
§ 8. Движение репера вдоль поверхности
40. Производные базисных векторов.
Коэффициенты связности
41. Уравнения Гаусса-Петерсона-Кодацци-
Майнарди
42. Тензоры
43. Тензоры кривизны Леви-Чивита и Римана.
Теорема "egregium" Гаусса
44. Ковариантное ускорение. Геодезические
45. Вариации кривых на поверхности.
Экстремальные свойства геодезических
46. Ковариантное дифференцирование
Литература, в которую заглядывал автор при
написании этой книжки