Полифония доказательств. Учебное пособие

О чем эта книга
1. Теоремы Фалеса и их эвристическая роль при
доказательстве других теорем
1.1. Фалес Милетский
1.2. Теорема Фалеса о равенстве углов при
основании равнобедренного треугольника
1.3. Теорема о совпадении высоты, медианы и
биссектрисы в равнобедренном треугольнике
1.4. Теорема Фалеса о сторонах угла,
пересеченных параллельными прямыми
1.5. Теоремы о средних линиях треугольника и
трапеции
1.6. Теорема Фалеса об окружности, описанной
около прямоугольного треугольника
1.7. Теорема о точке пересечения медиан
треугольника
1.8. Теорема о катете, лежащем в прямоугольном
треугольнике против угла в 30°
2. Подобные фигуры. Гомотетия
2.1. Подобные треугольники
2.2. Теорема Фалеса о сторонах угла,
пересеченного параллельными прямыми
(обобщенный вариант)
2.3. Основная лемма и признаки подобия
треугольников
2.4. Гомотетия и ее свойства
2.5. Гомотетия второго вида
3. Аппарат тригонометрии
3.1. Введение в тригонометрию
3.2. Теорема Фалеса и теорема синусов
3.3. Основное тригонометрическое тождество и
теорема Пифагора
3.4. Метрические отношения в прямоугольном
треугольнике
3.5. Теорема косинусов
4. Величина углов, образованных хордами,
касательными и секущими окружности.
Метрические соотношения в круге
4.1. Определения
4.2. Теорема о величине угла, образованного
касательной и хордой
4.3. Теорема о величине вписанного угла
4.4. Теорема о величине угла с вершиной внутри
круга
4.5. Теорема о величине угла с вершиной вне круга
4.6. Окружность Фалеса
4.7. Метрические соотношения в круге
4.8. Признаки описуемости четырехугольников
5. Начала тригонометрии
5.1. Определения тригонометрических функций
5.2. Значения тригонометрических функций в
прямоугольном треугольнике. Функции
дополнительных углов. Четные и нечетные
функции
5.3. Формулы приведения
5.4. Значения тригонометрических функций углов
30°, 60°, 45°
5.5. Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника
5.6. Теорема синусов
6. Традиционное определение понятия площади.
Площади некоторых многоугольников
6.1. Понятие площади
6.2. Площадь квадрата и прямоугольника
6.3. Равносоставленность и равновеликость
6.4. Площадь параллелограмма и ромба
6.5. Площадь треугольника
6.6. Площадь трапеции
6.7. Площадь как посредник при доказательстве
формул для тригонометрических функций двойного
угла
7. Начала теории площадей, основанной на
представлении о неделимых
7.1. Развитие представлений о неделимых в
работах Демокрита, Кеплера и Кавальери
7.2. Определение площади, основанное на
принципе Кавальери
7.3. Эквивалентность двух определений площади:
традиционного и нестандартного, основанного на
принципе Кавальери
7.4. Площади некоторых многоугольников
7.5. Длина окружности
7.6. Площадь круга, эллипса и параболического
сегмента
7.7. Задачи Архимеда, Гиппократа Хиосского и
Леонардо да Винчи
8. Теоремы Менелая, Симеона и Птолемея
8.1. Теорема Менелая
8.2. Теорема Симеона
8.3. Свойства прямой Симеона
8.4. Теорема Птолемея
8.5. Тригонометрические функции суммы и разности
двух углов
8.6. Сумма и разность одноименных
тригонометрических функций
9. Метрические соотношения в прямоугольном
треугольнике
9.1. Теорема Евклида о катете
9.2. Замечание об опасности возникновения
порочных кругов
9.3. Теорема о высоте
9.4. Пифагор и его учение
9.5. Теорема Пифагора
9.6. Теорема, обратная теореме Пифагора
10. Теорема косинусов. Теорема Стюарта.
Следствия
10.1. Теорема косинусов
10.2. Тригонометрические функции половинных
углов треугольника. Замечательное тождество.
Формула Герона
10.3. Теорема Стюарта и ее применение для
вычисления длины медианы и биссектрисы
треугольника
11. Теоремы о биссектрисах внутренних и внешних
углов треугольника. Гармонические четверки
точек
11.1. Теорема о биссектрисе внутреннего угла
треугольника
11.2. Теорема о биссектрисе внешнего угла
треугольника
11.3. Гармонические четверки точек
11.4. Гармоническая четверка точек,
обнаруженная Пифагором
11.5. Примеры гармонических четверок
12. Теорема Чевы. Окружность, вписанная в
треугольник. Вневписанные окружности
12.1. Теорема Чевы
12.2. Примеры применения теоремы Чевы
12.3. Точка пересечения биссектрис треугольника.
Вписанные и вневписанные окружности
12.4. Соотношения между радиусами описанной,
вписанной и вневписанной окружностей
треугольника. Теорема Штейнера
12.5. Площадь треугольника с вершинами в
центрах вневписанных окружностей данного
треугольника
12.6. Теорема Карно
13. Теоремы Эйлера о расстоянии между центрами
описанной, вписанной и вневписанной окружностей
данного треугольника
13.1. Эйлер - гигант среди математиков
13.2. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами
вписанной и описанной окружностей
13.3. Теорема Эйлера о расстоянии между центрами
описанной и вневписанной окружностей
13.4. Теорема о расстоянии между центрами
вписанной и вневписанной окружностей
14. Ортоцентр треугольника и его свойства
14.1. Теорема существования ортоцентра
14.2. Теорема о перпендикулярах к сторонам
треугольника
14.3. Еще два доказательства теоремы
существования ортоцентра
14.4. Свойства ортоцентра
14.5. Расстояние от ортоцентра до центра
описанной окружности
14.6. Некоторые свойства высот треугольника
15. Центр тяжести треугольника. Свойства
медиан. Прямая Эйлера
15.1. Теорема существования центра тяжести
треугольника
15.2. Свойства медиан
15.3. Прямая Эйлера
15.4. Особые случаи расположения прямой Эйлера
16. Равнобедренный треугольник - свойства и
признаки
16.1. Свойства равнобедреннего треугольника
16.2. Признаки равнобедреннего треугольника
17. Правильный треугольник. Точка Торричелли.
Теорема Наполеона
17.1. Свойства правильного треугольника
17.2. Точка Торричелли
17.3. Теорема Наполеона
18. Формула Герона. Формула Брахмагупты.
Отыскание диагоналей и радиуса описанной
окружности описуемого четырехугольника,
площади произвольного четырехугольника
18.1. Формула Герона для вычисления площади
треугольника
18.2. Формула Брахмагупты для вычисления
площади описуемого четырехугольника
18.3. Формула радиуса окружности, описанной
около четырехугольника
18.4. Формула для определения диагоналей
описуемого четырехугольника
18.5. Площадь произвольного выпуклого
четырехугольника
19. Окружность девяти точек и ее свойства
19.1. Теорема существования окружности
Фейербаха
19.2. Окружность Фейербаха как посредник при
доказательстве других теорем
19.3. Теорема Фейербаха