Конспекты лекций по вычислительной математике

Лекция 1 (вводная). Предмет вычислительной
математики
1.1. Прикладные направления развития
вычислительной математики
1.2. Из истории вычислительной математики
1.3. Особенности вычислительной математики
1.4. Этапы численного решения задачи
1.5. Примеры, демонстрирующие особенности
численного решения задач
Список литературы
Лекция 2. Системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)
2.1. Нормы векторов и матриц
2.2. Подчиненные нормы матриц
2.3. Обусловленность СЛАУ
СПИСОК литературы
Лекция 3. Численные методы решения систем
линейных алгебраических уравнений
3.1. Прямые методы решения СЛАУ
3.2. Итерационные методы численного решения
СЛАУ
3.3. Итерационные вариационные методы решения
СЛАУ.
СПИСОК литературы
Лекция 4. Численное решение нелинейных
алгебраических уравнений и систем нелинейных
алгебраических уравнений
4.1. СВЯЗЬ С вариационной задачей
4.2. Итерационные методы решения СНАУ
4.3. Метод Ньютона
4.4. Разностные отображения
Список литературы
Лекция 5. Аппроксимация функций в
функциональных пространствах
5.1. Постановка задачи о наилучшем приближении
(Чебышев)
5.2. Метод наименьших квадратов (МНК)
5.3. Основная теорема МНК
5.4. Предобусловленные СЛАУ
(предобуславливатели)
5.5. Ортогональные многочлены
СПИСОК литературы
Лекция 6. Интерполяция функций
6.1. Постановка задачи
6.2. Разделенные и конечные разности.
Интерполяционный полином в форме Ньютона
6.3. Проблема, решенная П. Л. Чебышевым
6.4. Теорема Бернштейна
6.5. Схема Эйткена построения интерполяционного
полинома Лагранжа
6.6. Многомерная интерполяция
6.7. Интерполяция с кратными узлами
6.8. Тригометрическая интерполяция с базисными
функциями
6.9. Интерполяция Паде
6.10. Интерполяция сплайнами
6.11. В-сплайны
СПИСОК литературы
Лекция 7. Численное интегрирование
7.1. Формула Симпсона
7.2. Погрешность формул Ньютона-Котеса
7.3. Кратные интегралы
7.4. Формула Маклорена
7.5. Интегралы с особенностями
7.6. Идея метода Монте-Карло
7.7. Метод Чебышева
7.8. Метод Гаусса
СПИСОК литературы
Лекция 8. Численные методы решения
обыкновенных дифференциальных уравнений
(ОДУ). Задача Коши
8.1. Нежесткие задачи
8.2. Методы Рунге-Кутты (МРК)
8.3. Барьеры Бутчера
8.4. Устойчивость явных МРК
Список литературы
Лекция 9. Численное решение жестких систем
обыкновенных дифференциальных уравнений (ЖС
ОДУ)
9.1. УСТОЙЧИВОСТЬ разностных методов (тест
Далквиста)
9.2. Нелинейные ЖС ОДУ (на примере системы
Тихонова)
9.3. Многошаговые методы (ММ). Метод
неопределенных ко-эффициентов
СПИСОК литературы
Лекция 10. Точные решения разностных уравнений
10.1. Примеры линейных разностных уравнений
(ЛРУ)
СПИСОК литературы
Лекция 11. Краевые задачи ДЛЯ обыкновенных
дифференциальных уравнений
11.1. Метод фундаментальных систем (МФС)
11.2. Задача Штурма-Лиувилля ДЛЯ ОДУ
11.3. Нелинейные краевые задачи
СПИСОК литературы
Лекция 12. Основные понятия теории разностных
схем для численного решения уравнений в частных
производных
12.1. Постановки задач
12.2. Уравнения гиперболического типа
12.3. Уравнение эллиптического типа
12.4. Примеры разностных аппроксимаций
12.5. Сходимость, аппроксимация, устойчивость
12.6. Введение в теорию устойчивости разностных
схем
СПИСОК литературы
Лекция 13. Численные методы решения уравнений
в частных производных параболического тип
13.1. Построение схемы повышенного порядка
аппроксимации
13.2. Метод простых итераций в функциональном
пространстве
13.3. Интегро-интерполяционный метод
13.4. Трехслойные схемы для численного решения
уравнения теплопроводности
13.5. Исследование разностных схем на сходимость
СПИСОК литературы
Лекция 14. Численное решение уравнений в
частных производных гиперболического типа
14.1. Разностные схемы для численного решения
нелинейного уравнения
14.2. Гибридные разностные схемы
14.3. Метод неопределенных коэффициентов
Список литературы
Лекция 15. Разностные методы для численного
решения уравнений в частных производных
эллиптического типа
15.1. Методы простых итераций
Список литературы