Введение в теорию динамических систем. Учебное пособие

Предисловие
Глава 1. Динамические системы: основные модели
1.1. Динамические системы и их математические
модели
1.1.1. Понятие динамической системы
1.1.2. О классификации динамических систем
1.1.3. Непрерывные динамические системы
1.1.4. Дискретные динамические системы
1.1.5. Линейные и нелинейные ДС
1.2. Модели с дискретным временем
1.2.1. Динамика в математике
1.2.2. Дискретная модель Мальтуса
1.2.3. Логистическая модель
1.2.4. Последовательность (числа) Фибоначчи
1.2.5. Рекуррентные последовательности и
уравнения
1.3. Модели с непрерывным временем
1.3.1. Непрерывная модель Мальтуса
1.3.2. Логистическая модель
1.3.3. Уравнение колебаний математического
маятника
Задачи и упражнения
Глава 2. Дискретные динамические системы
2.1. Введение в теорию ДДС
2.1.1. Оператор эволюции дискретной ДС
2.1.2. Решения дискретных систем
2.1.3. Неподвижные точки и циклы
2.1.4. Траектории одномерных систем
2.1.5. Периодичность Шарковского
2.1.6. Неподвижные точки и циклы линейных
систем
2.1.7. Линейные одномерные системы
2.2. Фазовые портреты линейных систем
2.2.1. О фазовых портретах дискретных систем
2.2.2. Канонические линейные системы
2.2.3. Линейные гиперболические системы
2.2.4. Линейные негиперболические системы
2.3. О классификации дискретных систем
2.3.1. Линейная и алгебраическая классификации
2.3.2. Понятие топологической эквивалентности
2.3.3. Топологическая классификация линейных
систем
2.4. Устойчивость решений
2.4.1. Основные понятия
2.4.2. Устойчивость линейных систем
2.4.3. Устойчивость неподвижных точек и циклов
2.4.4. Аттракторы динамических систем
Задачи и упражнения
Глава 3. Непрерывные динамические системы
3.1. Введение в теорию НДС
3.1.1. Оператор эволюции непрерывной ДС
3.1.2. Решения непрерывных динамических
систем
3.1.3. О качественном исследовании
динамических систем
3.1.4. Свойства решений автономных систем
3.1.5. Фазовые пространства
3.1.6. Неподвижные точки и циклы непрерывных
систем
3.1.7. Сепаратрисы особых точек
3.1.8. Теория Пуанкаре-Бендиксона
3.2. Фазовые портреты и траектории линейных
систем
3.2.1. Основные свойства линейных систем
3.2.3. Линейные двумерные системы
3.2.4. Фазовые портреты двумерных линейных
систем
3.3. Фазовые портреты и траектории нелинейных
систем
3.3.1. Траектории и фазовые портреты
одномерных систем
3.3.2. Нелинейные системы: процедура
линеаризации
3.3.3. Фазовый портрет математического маятника
3.4. О классификации непрерывных систем
3.4.1. Линейная и алгебраическая классификации
3.4.2. Понятие топологической эквивалентности
3.4.3. Теорема Гробмана-Хартмана
3.5. Элементы теории устойчивости
3.5.1. Устойчивость решений по Ляпунову
3.5.2. Устойчивость точек равновесия
3.5.3. Устойчивость предельных циклов
3.5.4. Аттракторы динамических систем
3.6. Периодические задачи
3.6.1. Периодические задачи для неавтономных
уравнений
3.6.2. Периодические задачи для автономных
уравнений
3.7. Консервативные и диссипативные системы
3.7.1. Консервативные системы
3.7.2. Консервативность дискретных систем
Задачи и упражнения
Глава 4. Элементы нелинейной динамики
4.1. Структурно устойчивые системы
4.1.1. Вводные понятия
4.1.2. Теорема Андронова-Понтрягина
4.2. Элементы теории бифуркаций
4.2.1. Вводные понятия
4.2.2. Локальные и глобальные бифуркации
4.3. Бифуркации в непрерывных динамических
системах
4.3.1. Гиперболический случай
4.3.2. Негиперболический случай
4.3.3. Транскритическая бифуркация
4.3.4. Бифуркация типа вилки
4.3.5. Седло-узловая бифуркация
4.3.6. Бифуркация Андронова-Хопфа
4.3.7. Как определять сценарии бифуркаций?
4.4. Бифуркации периодических решений
4.4.1. Необходимые условия бифуркации
4.4.2. Основные сценарии бифуркации
4.5. Бифуркации в дискретных динамических
системах
4.5.1. Бифуркации в окрестностях точек
равновесия
4.5.2. Бифуркации в окрестностях циклов
4.6. Хаос в динамических-системах
4.6.1. Детерминированность, случайность, хаос
4.6.2. Детерминированный хаос
4.7. Фракталы и хаос
4.7.1. Топологическая и фрактальная размерности
4.7.2. Понятие фрактального множества
4.7.3. Фракталы в динамических системах
4.8. Модели нелинейных динамических систем
4.8.1. Модель Лотки-Вольтерры
4.8.2. Модели Ван-дер-Поля, Релея и Льенара
4.8.3. Логистическая модель
4.8.4. Модель Хенона
4.8.5. Модель Лоренца
Задачи и упражнения
Литература
Предметный указатель