Конспект лекций по функциональному анализу. Учебное пособие

Введение
Модуль I. Теория сжимающих операторов
§ 1. Список основных пространств
§ 2. Метрические пространства
2.1. Понятие метрики
2.2. Примеры метрических пространств
§ 3. Сходимость в метрическом пространстве
§ 4. Сжимающие операторы
4.1. Принцип сжимающих операторов
4.2. Метод последовательных приближений, или простых итераций
§ 5. Приложение принципа сжимающих операторов к задаче
приближенного решения уравнений
5.1. Числовые уравнения
5.2. Системы линейных алгебраических уравнений
5.3. Нелинейные функциональные уравнения
5.4. Интегральные уравнения Фредгольма
5.5. Интегральные уравнения Вольтерры
Модуль II. Теория рядов Фурье в гильбертовом пространстве
§ 6. Линейные пространства
6.1. Понятия линейного пространства и линейного подпространства
6.2. Линейно независимые системы
6.3. Размерность линейного пространства
§ 7. Нормированные пространства
7.1. Понятия нормы, полунормы и банахова пространства
7.2. Основные банаховы пространства
7.3. Другие попытки введения нормы
§ 8. Пространства со скалярным произведением
8.1. Понятия скалярного произведения и гильбертова пространства
8.2. Основные гильбертовы пространства
8.3. Весовые пространства Лебега
§ 9. Ортогональные системы
9.1. Процесс ортогонализации
9.2. Построение ортогональных многочленов Лежандра, Чебышёва,
Лагерра, Эрмита
§ 10. Полные системы
10.1. Понятия полной системы и ортогонального базиса
10.2. Полные системы и ортогональные базисы в пространствах Лебега
III. Тригонометрические системы
III. Полиномиальные системы
III. Системы ступенчатых функций
§ 11. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве и задача аппроксимации
11.1. Разложение вектора по ортонормированной системе в
конечномерном пространстве
11.2. Разложение вектора по ортонормированной системе в
бесконечномерном пространстве. Сходимость ряда Фурье
11.3. Приложение рядов Фурье к решению задач аппроксимации
§ 12. Замечания о сходимости рядов Фурье
12.1. Качество сходимости ряда Фурье
12.2. Сравнение тригонометрической и полиномиальной аппроксимации
12.3. Сравнение ряда Фурье и ряда Тейлора
Модуль III. Теория линейных операторов
§ 13. Линейные операторы
13.1. Понятие линейного оператора. Примеры
13.2. Линейные интегральные операторы Фредгольма и Вольтерры
13.3. Линейные дифференциальные операторы, операторы Штурма -
Лиувилля
§ 14. Обратный оператор
14.1. Понятие обратимости. Критерий для линейных операторов
14.2. Обратимость линейных дифференциальных операторов второго
порядка с начальными и граничными условиями
§ 15. Собственные числа и собственные векторы линейных операторов
15.1. Понятие собственного числа и собственного вектора
15.2. Собственные векторы симметричных операторов
15.3. Системы собственных функций для симметричных интегральных и
дифференциальных операторов. Задача Штурма - Лиувилля
15.4. Применение собственных векторов для решения линейных
уравнений
§ 16. Непрерывность операторов
16.1. Понятие непрерывности. Критерий для линейного оператора
16.2. Непрерывность интегральных операторов Фредгольма
16.3. Условия непрерывности для линейных дифференциальных
операторов
§ 17. Непрерывность обратного оператора
17.1. Понятие непрерывной обратимости. Критерий для линейных
операторов
17.2. Понятие устойчивости для решения операторного уравнения
17.3. Условия для положительной определенности операторов Штурма
- Лиувилля
17.4. Условия для непрерывной обратимости интегральных операторов
Фредгольма
§ 18. Оптимизация функционалов в гильбертовом пространстве
18.1. Теорема Рисса для линейных непрерывных функционалов
18.2. Дифференцирование и оптимизация функционалов
18.3. Метод Ритца для приближенной оптимизации функционалов
§ 19. Вариационный и проекционный подходы к приближенному
решению линейных операторных уравнений
19.1. Вариационные методы
II. Функционал наименьших квадратов
II. Функционал энергии
19.2. Проекционные методы
19.3. Сходимость метода наименьших квадратов и метода Галёркина
Список литературы
Предметный указатель