Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Теория и решение задач. Учебное пособие для бакалавров

Предисловие
Введение
Основные обозначения курса
Раздел 1. Аксиоматический метод
Глава 1. Геометрические аксиоматики
§ 1.1. Евклидовы "начала"
§ 1.2. Метод координат
Научный метод Декарта
Аксиома Декарта
§ 1.3. Метод интерпретаций
§ 1.4. Интерпретации геометрии Евклида
Аксиома параллельности
§ 1.5. Неевклидова геометрия
§ 1.6. Аксиоматический метод в математике
§ 1.7. Аксиоматика Д. Гильберта евклидовой
геометрии
I. Аксиомы принадлежности
II. Аксиомы порядка
III. Аксиомы конгруэнтности
IV. Аксиома непрерывности
V. Аксиома параллельности
§ 1.8. Абсолютная геометрия
§ 1.9. Векторное исчисление
§ 1.10. Аксиоматический метод в научном познании
Заключение к разделу 1
Раздел 2. Аффинное пространство
Глава 2. Аксиоматика Г. Вейля
§ 2.1. Элементы векторной геометрии и четыре
группы аксиом аффинного пространства Основные
понятия
Множества и их элементы
Основные соответствия
§ 2.2. Группа аксиом I: аксиомы связи
§ 2.3. Группа аксиом II: аксиома сложения векторов
§ 2.4. Группа аксиом III: аксиомы умножения
вектора на число
§ 2.5. Линейная зависимость системы векторов
§ 2.6. Группа аксиом IV: аксиомы размерности
§ 2.7. Геометрическая модель координат вектора
§ 2.8. Связанные и свободные векторы
Коллоквиум по разделам 1-2
Аксиоматический метод и геометрия. Аксиоматика
Г. Вейля. Аффинное пространство
Глава 3. Теоремы о прямых и плоскостях
§ 3.1. Прямая в аффинном пространстве
§ 3.2. Геометрический центр множества точек
§ 3.3. Прямая на плоскости
3.3.1. Общее уравнение прямой на плоскости
3.3.2. Полуплоскость
3.3.3. Эквивалентность двух определений
параллельности прямых
3.3.4. Теорема Фалеса
3.3.5. Теоремы о связке прямых
3.3.6. Теоремы о трансверсалях
§ 3.4. Плоскость в аффинном пространстве
3.4.1. Общее уравнение плоскости
3.4.2. Полупространство
§ 3.5. Прямая и плоскость в пространстве
§ 3.6. Скрещивающиеся прямые
§ 3.7. Выпуклые множества на плоскости и в
пространстве
§ 3.8. Многогранники
§ 3.9. Построение плоских сечений многогранников
Коллоквиум по разделу 2
Аффинное пространство. Теоремы о прямых и
плоскостях
Раздел 3. Евклидово пространство
Глава 4. Понятия и теоремы евклидова
пространства
§ 4.1. Группа аксиом V: аксиомы скалярного
произведения
§ 4.2. Расстояние между точками в пространстве
§ 4.3. Углы в пространстве
4.3.1. Угол между векторами
4.3.2. Угол между прямыми
§ 4.4. Свойства ортогональных проекций векторов
§ 4.5. Метрические формулы в декартовой системе
координат
§ 4.6. Признаки перпендикулярности прямых и
плоскостей
4.6.1. Угол между прямой и плоскостью
4.6.2. Теоремы о взаимно перпендикулярных
прямых и плоскостях
4.6.3. Нормальное уравнение плоскости
§ 4.7. Углы между плоскостями
4.7.1. Измерение двугранного угла
4.7.2. Измерение угла между плоскостями
4.7.3. Теоремы о взаимно перпендикулярных
плоскостях
§ 4.8. Свойства трехгранных углов
§ 4.9. Свойства многогранных углов
§ 4.10. Свойства тетраэдра
§ 4.11. Свойства пучка плоскостей в пространстве
§ 4.12. Применение метрических свойств фигур
§ 4.13. Основные метрические соотношения в
косоугольной системе координат
Дополнение к главе 4
Доказательство непротиворечивости и полноты
векторной аксиоматики
Глава 5. Аксиоматическая теория измерений
§ 5.1. Свойства длины отрезка
§ 5.2. Аксиомы площади плоской фигуры
5.2.1. Векторное произведение
5.2.2. Аксиоматическое определение площади
плоского многоугольника
5.2.3. Квадрируемые фигуры
§ 5.3. Аксиоматическая теория измерений объема
5.3.1. Кубируемые тела
5.3.2. Вычисление объема тетраэдра. Объем
многогранника
§ 5.4. Принцип Кавальери
§ 5.5. Вычисление площади поверхностей
вращения
5.5.1. "Цилиндр Шварца"
5.5.2. Определение площади поверхности
§ 5.6. Метрические задачи стереометрии
5.6.1. Смешанное произведение векторов
5.6.2. Геометрическая интерпретация смешанного
произведения
5.6.3. Вывод уравнения плоскости в типичных
задачах
§ 5.7. Применение определенного интеграла в
метрических задачах
5.7.1. Вычисление длины дуги графика функции
5.7.2. Нахождение площади плоской фигуры
5.7.3. Вычисление объема тел
5.7.4. Вычисление площади поверхности вращения
5.7.5. Вычисление объема гиперболоида вращения
Глава 6. Позиционные задачи стереометрии
§ 6.1. Позиционная аффинная задача
§ 6.2. Позиционная задача в евклидовом
пространстве
6.2.1. Расположение двух прямых в пространстве
6.2.2. Взаимное расположение прямой и плоскости
6.2.3. Взаимное расположение двух плоскостей
6.2.4. Взаимное расположение трех плоскостей
§ 6.3. Расстояние между фигурами в пространстве
6.3.1. Расстояние между скрещивающимися
прямыми
6.3.2. Нахождение общего перпендикуляра двух
скрещивающихся прямых
§ 6.4. Взаимное расположение в пространстве тел
вращения
§ 6.5. Параллельное и ортогональное
проектирование
6.5.1. Свойства параллельного проектирования
6.5.2. Вычисление площади проекции плоской
фигуры
§ 6.6. Центральное проектирование
§ 6.7. Формула Эйлера для выпуклых
многогранников
Коллоквиум по разделу 3
Евклидово пространство. Векторная алгебра и
аналитическая геометрия
Раздел 4. Линейная алгебра и геометрические
преобразования
Глава 7. Решение систем линейных уравнений
§ 7.1. Классификация систем линейных уравнений
§ 7.2. Решение систем трех линейных уравнений с
тремя неизвестными. Правило Крамера
7.2.1. Стереометрическая модель решений системы
трех линейных алгебраических уравнений
7.2.2. Решение системы двух линейных уравнений с
тремя неизвестными
7.2.3. Влияние ошибок округления
§ 7.3. Решение систем линейных уравнений методом
Гаусса
7.3.1. Решение системы n линейных уравнений с n
неизвестными
7.3.2. Программная реализация метода Гаусса
§ 7.4. Решение приводимых систем уравнений
7.4.1. Приводимые системы уравнений и их
решение
7.4.2. Список упражнений
§ 7.5. Действия с матрицами
§ 7.6. Свойства детерминантов
Глава 8. Геометрические преобразования
пространства
§ 8.1. Точечные отображения и преобразования
§ 8.2. Основные геометрические преобразования
8.2.1. Параллельное проектирование
8.2.2. Гомотетия пространства относительно точки
8.2.3. Преобразование подобия
8.2.4. Равномерное растяжение (сжатие) к оси
8.2.5. Преобразование инверсии
8.2.6. Пространственная инверсия
8.2.7. Композиция преобразований
§ 8.3. Движения пространства
§ 8.4. Виды движений
8.4.1. Параллельный перенос (трансляция)
8.4.2. Преобразование симметрии
8.4.3. Поворот пространства относительно оси
8.4.4. Композиция движений
8.4.5. Общие примеры композиций
8.4.6. Группы симметрии геометрических фигур
§ 8.5. Классификация движений
8.5.1. Движения первого и второго рода
8.5.2. Теорема Шаля
§ 8.6. Матрицы геометрических преобразований
8.6.1. Преобразование декартовых координат
точек и векторов при движениях
8.6.2. Аффинные преобразования
Глава 9. Конические сечения
§ 9.1. Вывод уравнения конуса
§ 9.2. Вывод уравнения конического сечения
§ 9.3. Нахождение канонического вида уравнения
второго порядка
§ 9.4. Характеристические свойства конических
сечений
9.4.1. Характеристическое свойство эллипса
9.4.2. Характеристическое свойство гиперболы
9.4.3. Характеристическое свойство параболы
9.4.4. Общее характеристическое свойство кривых
второго порядка
§ 9.5. Cтереометрическая модель кривых второго
порядка
§ 9.6. Оптическое свойство кривых второго
порядка
Коллоквиум по разделу 4
Системы линейных алгебраических уравнений.
Геометрические преобразования пространства.
Конические сечения
Краткий этимологический словарь по геометрии
Приложение
Практикум по стереометрии
Список литературы
Предметный указатель