Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии. Учебное пособие

Предисловие
Глава 1. Комплексные числа и полиномы
§ 1. Комплексные числа. Основные операции и
формулы
Алгебраические операции над полиномами
Корни полиномов и их свойства
Формулы Вьета
Многочлены с действительными коэффициентами
§2 §3 §4 §5
Глава 2. Системы линейных уравнений, матрицы,
определители
§ 1. Перестановки.
§ 2. Определители и их основные свойства
§ 3. Правило Крамера
§ 4. Основные операции над матрицами
§ 5. Обратная матрица
§ 6. Метод Гаусса решения систем линейных
уравнений
§ 7. Определитель произведения матриц
§ 8. Основные классы матриц
§ 9. Блочные матрицы
ГЛАВА 3. Введение в аналитическую геометрию
§1. Векторы. Алгебраические операции над
векторами
§ 2. Скалярное произведение векторов
§ 3. Векторное произведение
§ 4. Смешанное произведение векторов
§ 5. Примеры задач, решаемых методами
векторной алгебры
§ 6. Различные формы уравнения прямой на
плоскости
§ 7. Задачи о взаимном расположении прямых и
точек на плоскости
§8. Различные формы уравнения плоскости
§ 9. Уравнения прямой в пространстве
§ 10. Задачи о взаимном расположении точек,
прямых и плоскостей
Глава 4. Линейные пространства
§1. Пространства R и С"
§ 2. Общие линейные пространства
§ 3. Линейная зависимость векторов
§ 4. Линейно независимые системы векторов
§ 5. Ранг системы векторов
§ 6. Конечномерные линейные пространства.
Базисы
§ 7. Замена базиса
ГЛАВА 5. Евклидовы пространства
§ 1. Пространства R" и С™ со скалярным
произведением
§ 2. Общие евклидовы пространства
§ 3. Неравенство Коши — Буняковекого
§ 4. Матрица Грама
§ 5. Ортогональные системы векторов
§ 6. Процесс ортогонализации Грама — Шмидта
§ 7. Разложение вектора по базису евклидова
пространства
§ 8. Вычисление скалярного произведения
§ 9. Взаимный базис
§ 10. Примеры ортогональных базисов
ГЛАВА 6. Подпространства
§1. Сумма и пересечение подпространств
§ 2. Аффинные множества
§ 3. Размерность суммы подпространств
§ 4. Ортогональная проекция вектора на
подпространство
§ 5. Ортогональное разложение евклидова
пространства
ГЛАВА 7. Линейные операторы и матрицы
§1. Основные определения. Действия над
операторами
§ 2. Обратный оператор
§ 3. Оператор разложения по базису
§ 4. Изоморфизм конечномерных пространств
§ 5. Матрица оператора
§ 6. Матрица обратного оператора
§ 7. Линейное пространство операторов
§ 8. Дефект и ранг линейного оператора
§ 9. Ранг матрицы
§ 10. Элементарный метод вычисления ранга
матрицы
Глава 8. Линейные уравнения
§ 1. Общее решение линейного уравнения
§ 2. Системы линейных алгебраических
уравнений.
Условия разрешимости
§ 3. Общее решение системы линейных
алгебраических уравнений
Глава 9. Собственные числа и собственные
векторы оператора
§ 1. Инвариантные подпространства
§2. Собственные числа и собственные векторы.
Характеристический полином
§ 3. Операторы простой структуры
§ 4. Инварианты оператора
§5. Инвариантные функции операторного
аргумента
§ 6. Инвариантные подпространства в
вещественном пространстве
§ 7. Нильпотентный оператор
§ 8. Треугольная форма матрицы оператора
§ 9. Вещественная форма Шура
Глава 10. Операторы в евклидовом пространстве
§1. Линейные функционалы
§ 2. Сопряженный оператор
§ 3. Линейные уравнения в евклидовом
пространстве
§ 4. Псевдорешение. Метод регуляризации
Тихонова
§ 5. Самосопряженный и косоэрмитов операторы
§ 6. Неотрицательный и положительно
определенный операторы
§ 7. Унитарный оператор
§ 8. Нормальный оператор
§ 9. Корень из самосопряженного
неотрицательного оператора
§ 10. Конгруэнтные эрмитовы операторы
§ 11. Вариационные свойства собственных чисел
эрмитова оператора
§ 12. Применения вариационного описания
собственных чисел
§ 13. Евклидово пространство операторов
ГЛАВА 11. Операторы в вещественном евклидовом
пространстве
§ 1. Общие сведения
§ 2. Вещественное евклидово пространство
операторов
§ 3. Структура нормального оператора
§4. Структура ортогонального оператора
Глава 12. Квадратичные формы и квадратичные
функции
§ 1. Канонический вид квадратичной формы
§ 2. Закон инерции квадратичных форм
§ 3. Положительно определенные квадратичные
формы
§ 4. Квадратичная функция и ее инварианты
§ 5. Приведенная форма квадратичной функции
ГЛАВА 13. Кривые второго порядка
§ 1. Приведение уравнения кривой к простейшему
виду
§ 2. Геометрические свойства кривых второго
порядка
Глава 14. Поверхности второго порядка
§1. Приведение уравнения поверхности к
простейшему виду
§ 2. Геометрические свойства поверхностей
второго порядка
§ 3. Гиперповерхности второго порядка в
пространстве R"
Глава 15. Канонические формы и разложения
§1. Сингулярное разложение оператора
§ 2. Полярное разложение оператора
§ 3. Основные свойства псевдообратного
оператора
§4. Элементы теории мажоризации
§ 5. Некоторые оценки собственных и
сингулярных чисел
§ 6. Каноническая форма Жордана
§ 7. Корневые и циклические подпространства
§ 8. Вещественная форма Жордана
§ 9. Степенные матричные ряды
Глава 16. Матричные пучки
§1. Определения. Основные свойства
§ 2. Квазидиагональная форма пучка
§ 3. Каноническая форма Вейерштрасса
§ 4. Специальные матричные пучки
§ 5. Сингулярные пучки. Теорема о приведении
§ 6. Каноническая форма Кронекера
§ 7. Приложения к системам дифференциальных
уравнений
Глава 17. Нормы векторов и матриц
§ 1. Основные неравенства
§ 2. Нормы на пространстве С"
§3. Теорема Хана — Банаха. Дуальные нормы
§ 4. Нормы на пространстве матриц
§ 5. Раствор подпространств (пары проекторов)
Глава 18. Элементы теории возмущений
§1. Задача на собственные значения для
эрмитовой матрицы
§ 2. Сингулярные числа и сингулярные базисы
§3. Характеристические числа произвольной
матрицы
§ 4. Возмущения и обратимость матрицы
§ 5. Устойчивость систем линейных уравнений
§ 6. Возмущения псевдорешения
ГЛАВА 19. Неотрицательные матрицы
§ 1. Простейшие свойства неотрицательных
матриц
§ 2. Спектральные свойства положительных
матриц
§ 3. Спектральные свойства неотрицательных
матриц
§ 4. Неразложимые неотрицательные матрицы
Глава 20. Введение в численные методы линейной
алгебры
§ 1. Прямые методы решения систем уравнений
§ 2. Итерационные методы Якоби и Зейделя
§ 3. Элементы общей теории итерационных
методов
§ 4. Итерационные методы вариационного типа
§ 5. Метод Якоби решения задач на собственные
значения
Литература
Предметный указатель