Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Scilab. Учебное пособие

Предисловие
Глава 1. Компьютерная арифметика
§ 1.1. Арифметика чисел с плавающей запятой
§ 1.2. Ошибки, их источники и распространение
§ 1.3. Интервальный анализ
§ 1.4. Корректность и устойчивость вычислений
Задачи
Глава 2. Решение одного нелинейного уравнения
§ 2.1. Задача о погружении шара
§ 2.2. Отделение корней
§ 2.3. Метод деления отрезка пополам (метод
проб)
§ 2.4. Метод хорд (метод ложного положения)
§ 2.5. Обобщенный метод хорд
§ 2.6. Метод Ньютона (метод касательных или
линеаризации)
§ 2.7. Модифицированный метод Ньютона
§ 2.8. Метод секущих
§ 2.9. Скорость сходимости итерационных
методов
§ 2.10. Метод Ньютона для поиска кратных
корней
§ 2.11. Метод простой итерации
§ 2.12. Метод Чебышева
§ 2.13. Метод Эйткена построения итераций
высших порядков
§ 2.14. Вычисление многочленов. Схема Горнера
§ 2.15. Метод парабол Мюллера
Задачи
Глава 3. Интерполяция
§3.1. Постановка задачи интерполяции
§ 3.2. Многочлены Лагранжа
§ 3.3. Многочлены Ньютона
§ 3.4. Обобщенная схема Горнера
§ 3.5. Интерполяция Эрмита
§ 3.6. Сходимость интерполяционного процесса
§ 3.7. Многочлены Чебышева
Задачи
Глава 4. Сплайны
§4.1. Кусочно-линейная интерполяция
§ 4.2. Интерполяция кубическими лагранжевыми
сплайнами
§ 4.3. Локальная аппроксимация кубическими
сплайнами
§ 4.4. Сплайн Гриффипа и эрмитовы кубические
сплайны
§ 4.5. Интерполяционный кубический сплайн
§ 4.6. Алгоритм построения интерполяционного
кубического сплайна
§ 4.7. Системы линейных уравнений
§ 4.8. Существование и единственность решения
§ 4.9. Метод трехточечной прогонки
§4.10. Корректность и устойчивость метода
прогонки
§4.11. Метод фронтальной прогонки
§4.12. Пример построения кубического сплайна
§4.13. Инвариантность интерполяционных
кубических сплайнов
§4.14. Оценки погрешности интерполяции
§ 4.15. Монотонные кубические сплайны
§4.16. Аппроксимация кубическими В-сплайнами
Задачи
Глава 5. Метод наименьших квадратов и
сплайн-сглаживание
§ 5.1. Постановка задачи
§ 5.2. Критерий наименьших квадратов
§ 5.3. Нормальная система метода наименьших
квадратов
§ 5.4. Приближение многочленами
§ 5.5. Решение несовместных систем уравнений
§ 5.6. Нелинейные зависимости
§ 5.7. Приближение сплайнами
§ 5.8. Оптимизация приближения по МНК
§ 5.9. Формосохраняющая аппроксимация
§ 5.10. МНК и регуляризация
§5.11. Экстремальные свойства кубических
сплайнов
§5.12. Минимум регуляризирующего функционала
§5.13. Построение сглаживающего сплайна
§ 5.14. Метод пятиточечной прогонки
§5.15. Корректность и устойчивость
пятиточечной прогонки
§ 5.16. Выбор весовых множителей
§ 5.17. Выбор параметра сглаживания
Задачи
Глава 6. Численное дифференцирование и
интегрирование
§6.1. Некорректность задачи численного
дифференцирования
§ 6.2. Методы численного дифференцирования
§ 6.3. О выборе шага численного
дифференцирования
§ 6.4. Простейшие квадратурные формулы
§ 6.5. Формулы Ньютона-Котсса
§ 6.6. Оценки погрешности квадратурных формул
§ 6.7. Метод неопределенных коэффициентов
§ 6.8. Квадратурные формулы Гаусса
§ 6.9. Специальные случаи
§ 6.10. Формулы Гаусса-Чебышева
§6.11. Правило Рунге выбора шага численного
интегрирования
§6.12. Адаптивные квадратурные формулы
Задачи
Глава 7. Решение систем линейных уравнений
§7,1. Методы решения систем линейных
уравнений
§ 7.2. Нормы векторов и матриц
§ 7.3. Плохо обусловленные системы
§ 7.4. Метод исключения Гаусса
§ 7.5. Матричная формулировка гауссова
исключения
§ 7.6. Исключение с выбором ведущего элемента
§ 7.7. Метод Холесского
§ 7.8. Поведение числа обусловленности при
матричных преобразованиях
§ 7.9. Метод вращений
§7.10. Метод ортогонализации Грама-Шмидта
§ 7.11. Метод отражений
§ 7.12. Метод наименьших квадратов
Задачи
Глава 8. Итерационные методы решения систем
линейных уравнений
§ 8.1. Предобуславливание
§ 8.2. Метод одновременных смещений Якоби
§ 8.3. Метод последовательных смещений
Зейделя
§ 8.4. Метод верхней релаксации
§ 8.5. Метод простой итерации
§ 8.6. Метод Ричардсона
§ 8.7. Метод наискорейшего градиентного спуска
§ 8.8. Регуляризация
Задачи
Глава 9. Системы нелинейных уравнений
§9.1. Решение систем нелинейных уравнений.
Метод Ньютона
§ 9.2. Метод простой итерации
Задачи
Глава 10. Решение задач на собственные значения
§ 10.1. Задачи на собственные значения
§ 10.2. Устойчивость задачи на собственные
значения
§ 10.3. Степенной метод
§ 10.4. Метод исчерпывания
§ 10.5. Метод вращений Якоби
§ 10.6. Метод вращений Гивенса
§ 10.7. Метод отражений Хаусхолдера
§ 10.8. QR-алгоритм
§ 10.9. Метод Ланцоша
§ 10.10. Сингулярное разложение
Задачи
Ответы, указания, решения
Приложение /. Краткое введение в Matlab
1. Начальные сведения
2. Операции над векторами
3. Два вида арифметических операций
4. Операции над матрицам
5. Некоторые полезные функции и циклы
6. Графика
Приложение 2. Краткая инструкция для работы в
Scilab
1. Основы работы в Scilab
1.1. Элементарные математические
выражения
1.2. Элементарные математические функции
2. Программирование в Scilab
2.1. Оператор присваивания
2.2. Условный оператор
2.3. Оператор альтернативного выбора
2.4. Оператор while
2.5. Оператор for
3. Функции, определенные пользователем
4. Действия над матрицами
5. Построение двумерных графиков
6. Примеры написания программ в Scilab
Приложение 3. Лабораторные работы
№ 1. Решение одного нелинейного уравнения
№ 2. Интерполяция
№ 3. Метод наименьших квадратов
№ 4. Сглаживание кубическими сплайнами
№ 5. Численное интегрирование
№ 6. Прямые методы решения систем линейных
уравнений
№ 7. Итерационные методы решения систем
линейных уравнений
№ 8. Решение задач на собственные значения
Приложение 4. Тесты для письменного экзамена
Список литературы
Предметный указатель