Основы методов оптимизации. Учебное пособие

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В
ОПТИМИЗАЦИИ
1.1. Определение границ объекта
оптимизации
1.2. Выбор управляемых переменных
1.3. Определение ограничений на
управляемые переменные
1.4. Выбор числового критерия оптимизации
1.5. Формулировка математической задачи
оптимизации
1.6. Информационное обеспечение
математической модели Упражнения
ГЛАВА 2.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ОДНОМЕРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
2.1. Предварительные сведения
2.1.1. Минимум функции одной переменной
2.1.2. Унимодальные функции
2.1.3. Выпуклые функции
2.1.4. Условие Липшица
2.1.5. Классическая минимизация функции
одной переменной Упражнения
2.2. Прямые методы
2.2.1. Метод перебора
2.2.2. Метод поразрядного поиска
2.2.3. Методы исключения отрезков
2.2.4. Метод парабол
Упражнения
2.3. Методы, использующие производные
функции
2.3.1. Метод средней точки
2.3.2. Метод хорд
2.3.3. Метод Ньютона
2.3.4. Метод кубической аппроксимации
Упражнения
2.4. Методы минимизации многомодальных
функций
2.4.1. Метод перебора
2.4.2. Метод ломаных
Упражнения
Заключительные замечания к главе 2
МЕТОДЫ БЕЗУСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
3.1. Предварительные сведения
3.1.1. Основные понятия линейной алгебры
3.1.2. Минимум функции многих переменных
3.1.3. Дифференцируемые функции многих
переменных
3.1.4. Необходимые и достаточные условия
минимума дифференцируемой функции
Упражнения
3.2. Пример практической задачи безусловной
минимизации
(метод наименьших квадратов)
3.3. Выпуклые множества и выпуклые
функции
3.3.1. Свойства выпуклых функций
3.3.2. Выпуклые квадратичные функции
Упражнения
3.4. Общие принципы п-мерной минимизации
Упражнения
3.5. Прямые методы безусловной минимизации
3.5.1. Минимизация по правильному симплексу
3.5.2. Поиск точки минимума по
деформируемому симплексу
3.5.3. Метод циклического покоординатного
спуска
3.5.4. Алгоритм Хука-Дживса
3.5.5. Методы случайного поиска
3.5.6. Метод сопряженных направлений
Упражнения
3.6. Методы безусловной минимизации,
использующие производные функции
3.6.1. Метод градиентного спуска
3.6.2. Метод наискорейшего спуска
3.6.3. Метод сопряженных градиентов
3.6.4. Метод Ньютона
3.6.5. Квазиньютоновские методы
Упражнения
Заключительные замечания к главе 3
МНОГОМЕРНАЯ МИНИМИЗАЦИЯ ПРИ НАЛИЧИИ
ОГРАНИЧЕНИЙ. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
4.1. Задачи математического
программирования
4.1.1. Постановка и классификация задач
математического программирования
4.1.2. Примеры задач оптимизации, сводящихся
к задачам математического программирования
Упражнения
4.2. Критерии оптимальности в задачах
математического программирования
4.2.1. Необходимые условия минимума в
терминах направлений
4.2.2. Задача на условный экстремум
4.2.3. Условия оптимальности в задаче
выпуклого программирования
4.2.4. Задача математического
программирования со смешанными ограничениями
Упражнения
4.3. Решение задач линейного
программирования
4.3.1. Постановки задач
4.3.2. Графический метод
4.3.3. Симплекс-таблица
4.3.4. Симплекс-метод
4.3.5. Метод искусственного базиса
4.3.6. Симплекс-метод при отсутствии условий
неотрицательности переменных
Упражнения
4.4. Двойственность в линейном
программировании
4.4.1. Основные понятия
4.4.2. Двойственный симплекс-метод
4.4.3. Применения теории двойственности
Упражнения
Заключительные замечания к главе 4
ГЛАВА 5.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
5.1. Задачи нелинейного программирования,
сводящиеся
к линейному программированию
5.1.1. Задача дробно-линейного
программирования
5.1.2. Задача квадратичного программирования
Упражнения
5.2. Методы возможных направлений
5.2.1. Случай линейных ограничений
5.2.2. Случай нелинейных ограничений
Упражнения
5.3. Градиентные методы
5.3.1. Метод проекции градиента
5.3.2. Метод условного градиента
Упражнения
5.4. Методы последовательной безусловной
минимизации
5.4.1. Метод штрафных функций
5.4.2. Метод барьерных функций
Упражнения
Заключительные замечания к главе 5
ГЛАВА 6.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ ЗАДАЧ
ОПТИМИЗАЦИИ
6.1. Примеры математических моделей
дискретных задач оптимизации
6.2. Методы отсечений
Упражнения
6.3. Метод ветвей и границ
6.3.1. Общее описание метода
6.3.2. Решение целочисленной задачи
линейного программирования методом ветвей и
границ
6.3.3. Другие примеры использования метода
ветвей и границ
Упражнения
6.4. Дискретное динамическое
программирование
6.4.1. Постановка многошаговой задачи
оптимизации
6.4.2. Принцип оптимальности
6.4.3. Метод динамического программирования
Упражнения
Заключительные замечания к главе 6
ГЛАВА 7.
ОПТИМИЗАЦИЯ В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
7.1. Банаховы и гильбертовы пространства
функций
7.1.1. Линейное функциональное пространство
7.1.2. Нормированные и метрические
пространства
7.1.3. Банаховы пространства
7.1.4. Гильбертовы пространства
Упражнения
7.2. Основные сведения о функционалах в
банаховых пространствах
7.2.1. Непрерывные и дифференцируемые
функционалы
7.2.2. Выпуклые функционалы
Упражнения
7.3. Необходимые и достаточные условия
минимума функционала
7.3.1. Задача минимизации в банаховом
пространстве
7.3.2. Условия минимума дифференцируемого
функционала
7.3.3. Теорема Куна-Такхера
Упражнения
7.4. Приближенные методы безусловной
минимизации функционалов в гильбертовом
пространстве
7.4.1. Метод градиентного спуска
7.4.2. Метод наискорейшего спуска
7.4.3. Метод сопряженных градиентов
Упражнения
7.5. Приближенные методы минимизации
функционалов при наличии ограничений
7.5.1. Метод проекции градиента
7.5.2. Метод штрафных функционалов
7.5.3. Метод условного градиента
Упражнения
Заключительные замечания к главе 7
ГЛАВА 8.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ
8.1. Оптимальное управление объектом,
описываемым системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
8.1.1. Постановка задачи
8.1.2. Градиентные методы
8.1.3. Условия выпуклости функционала
8.1.4. Решение задачи оптимального
управления методом динамического
программирования
Упражнения
8.2. Оптимальное управление в задачах с
уравнениями в частных производных
8.2.1. Постановка задачи
8.2.2. Решение задачи градиентными методами
8.2.3. Обобщение формулы для градиента /(и)
Упражнения
Заключительные замечания к главе 8
Литература