Линейная алгебра

Часть I. Основы линейной алгебры
Введение. Основные определения
ЛЕКЦИЯ № 1. Простейшие случаи. Решение систем
1. Простейшие случаи. Решение системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными
(способ подстановки и способ сложения или
вычитания)
2. Решение системы трехлинейных уравнений с
тремя неизвестными
3. Эквивалентность линейных систем,
элементарные
преобразования. Приведение к ступенчатому виду
(метод Гаусса)
4. Совместность и определенность линейных
систем
ЛЕКЦИЯ № 2. Матрицы
1. Матрицы. Основные определения
2. Линейные действия над матрицами
3. Умножение матриц
4. Многочлены от матриц, линейные комбинации
матриц, комплексные матрицы
5. Свойства транспонированных матриц
6. Определители второго и третьего порядка.
Их свойства
7. Минор. Алгебраическое дополнение
8. Определитель n-го порядка
9. Обратная матрица. Присоединенная матрица.
Вырожденная матрица
10. Ранг матрицы
ЛЕКЦИЯ № 3. Линейные системы.
Решение линейных систем
1. Системы линейных уравнений (матричная
запись)
2. Решение линейных систем п уравнений
с п неизвестными с помощью определителей.
Теорема Крамера
3. Исследование систем m линейных уравнений
с п неизвестными
ЛЕКЦИЯ № 4. Линейные пространства
1. Линейные (арифметические) пространства
и подпространства
2. Линейные комбинации. Линейная зависимость
3. Базис, разложение вектора по базису.
Размерность. Изоморфизм
4. Матрица системы векторов линейного
пространства.
Преобразование координат при изменении базиса
ЛЕКЦИЯ № 5. Линейное преобразование
1. Линейное преобразование (отображение)
2. Характеристическое уравнение и собственный
вектор линейного преобразования
3. Диагональный вид матрицы
линейного преобразования
4. Действия над линейными преобразованиями
5. Ортогональные матрицы
Часть II. Приложения линейной алгебры
ЛЕКЦИЯ № 6. Квадратичные формы
1. Квадратичные формы
2. Закон инерции квадратичных форм
3. Знакоопределенные квадратичные формы
4. Упрощение уравнений второго порядка с
помощью
квадратичных форм
ЛЕКЦИЯ № 7. Группы и подгруппы
1. Группы и подгруппы (определения)
2. Циклические группы. Симметрические группы
3. Морфизмы групп
4. Разложение группы по подгруппе
ЛЕКЦИЯ № 8. Кольца и поля
1. Кольца
2. Поле. Модуль
ЛЕКЦИЯ № 9. Функции от матриц. Жордановы
цепочки
1. Аннулирующие многочлены
2. Корневые подпространства
3. Жордановы цепочки. Теорема Жордана.
Жорданова матрица
4. Функции от матриц
5. Матричные функции скалярного аргумента
ЛЕКЦИЯ № 10. Норма
1. Нормированные пространства. Норма
2. Нормы матриц
ЛЕКЦИЯ № 11. Численные методы
1. Численные методы. Введение
2. Метод Гаусса
3. LU-разложение
4. Выбор главного элемента. Масштабирование
5. Разложение на ортогональный и треугольный
множители (QR-разложение)
6. Итерационные методы решения линейных
систем.
Метод простой итерации
7. Метод Зейделя. Метод верхней релаксации
ЛЕКЦИЯ № 12. Псевдорешения и псевдообратные
матрицы
1. Псевдорешения
2. Псевдообратные матрицы
3. Метод наименьших квадратов
ЛЕКЦИЯ № 13. Системы линейных неравенств
1. Однородные системы линейных неравенств
2. Неоднородная система линейных неравенств
Литература